遇事不決量子力學？近日，科學家利用量子力學解決了一個距今243年的著名數學難題——歐拉36軍官問題。

距今243年“無解”的數學問題

歐拉36軍官問題，是由瑞士數學家萊昂哈德·歐拉(Leonhard Euler)在1779年所提出的著名問題。歐拉設想，有6個軍團各有6名軍官，且每個軍團中的軍官，其軍銜各不相同，問這36個軍官能否排列成一個6×6的方陣，且每行和每列中均沒有重復的軍團和軍銜？這一問題也可描述為兩個6階拉丁方是否可以正交。

1900年，法國數學家Gaston Tarry列出了所有可能的6×6方陣排列，證明了上述6×6方陣問題是無解的。1960年，數學家使用計算機證明了在軍團和軍銜數量大于2且不等于6的情況下，該問題總是有解的。這意味著，例如4×4、5×5、7×7這樣的方陣問題都可以求解， 6×6的方陣問題則成為了持續243年的“無解之謎”。

1，3，4，5，7階方陣軍官問題的解，顏色代表不同軍團，符號代表不同軍銜，圖片來自Wikipedia

量子力學求解歐拉36軍官問題

既然在經典物理世界中，歐拉36軍官問題無解。那在量子物理世界中，是否能夠求解呢？印度馬德拉斯理工學院(IITM)Suhail Rather、波蘭雅蓋隆大學(UJ)Adam Burchardt以及二人的同事提出了上述設想，在量子力學的條件下進行了相關研究。他們成功證明，只要軍官可以具備軍銜和軍團的量子混合狀態，那么就能以符合歐拉標準的方式排列這36名軍官。相關研究成果近日發表在《物理評論快報》(Physical Review Letters)。

圖片來自《物理評論快報》(Physical Review Letters)

在量子版本的歐拉36軍官問題中，軍官是由軍銜和軍團的疊加形成的，例如一名軍官可以是紅色軍團的上校，也可以是藍色軍團的中尉。這個版本需要一個定義來調整，即兩種疊加的量子態必須是不同的。

兩個量子物體之間的疊加，通常意味著它們是糾纏的，因此它們的性質是相互依賴和相關的。比如，如果發現一名軍官是上校，那么與之糾纏在一起的另一名軍官則應該是中尉。由此，研究人員從6×6經典排列的近似解開始，并通過增加軍官的疊加態來改進成量子版本，并利用計算機的大量運算，最終找到了歐拉36軍官問題的量子解。

發現“黃金絕對最大糾纏(AME)態”

研究人員意識到，該問題的量子解與涉及絕對最大糾纏(AME)態的量子信息處理問題密切相關。在AME態中，任何一對糾纏的量子位都具有強相關性。AME態與量子糾錯相關，量子糾錯指在不需要實際讀出量子位的狀態下，就能識別與改正量子計算中的錯誤。

量子位有兩種可能的讀出狀態——0和1，但原則上，量子物體也可以有三種或更多的狀態。理論學家已經為不同大小的量子物體推導出了AME態的數學表達式，但是四個具有六種狀態的物體的AME態，即AME(4,6)態，始終難以捉摸。

歐拉36軍官問題的量子解對應AME(4,6)態，圖片來自論文

研究人員發現歐拉36軍官問題的量子解，展示了如何糾纏四個六面的量子骰子，即所謂的AME(4,6)態的解決方案。

在求解過程中，研究人員發現不同量子態疊加的系數之比約等于1.618，為著名的黃金比例，因此他們將AME(4,6)態稱之為“黃金AME態”。

奧地利因斯布魯克大學的量子信息理論家Barbara Kraus表示，找到AME(4,6)態解決了“過去幾年來，一些研究人員一直在研究的問題”。多倫多大學的量子技術專家Hoi-Kwong Lo則認為這項工作具有潛在的意義，“在我看來，這個論點似乎是可信的。如果結果是正確的，我認為它非常重要，對量子糾錯具有啟示意義。”澎湃新聞記者 王蕙蓉